微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2}$

ステップ 1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

ステップ 1.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

ステップ 5

$\frac{π^{2}}{4}$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

ステップ 6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\cos (\frac{π^{2}}{4})$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

ステップ 7.2

$- 1$ に $- 0.78121189$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

ステップ 7.3

$0.78121189$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ と $1.78121189$ をまとめます。

$\frac{1.78121189}{2}$

ステップ 7.5

$1.78121189$ を $2$ で割ります。

$0.89060594$

微分積分 例

微分積分例