微分積分例

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

ステップ 2.2

$\frac{u}{2}$ と $\sin (u)$ をまとめます。

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

ステップ 4

$w = u$ と $dv = \sin (u)$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

ステップ 6.2

$\int \cos (u) d u$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

ステップ 7

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

ステップ 8

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ を $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

ステップ 10.2.2

$\cos (x^{2})$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

ステップ 10.3

$\frac{1}{2}$ と $\sin (x^{2})$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

ステップ 10.4

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

微分積分 例

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