微分積分例

$\int x^{4} \sqrt{x^{5} + 5} d x$

ステップ 1

$u = x^{5} + 5$ とします。次に $d u = 5 x^{4} d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{5} + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{5} + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{5} + 5]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{5} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} + 0$

ステップ 1.1.5

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x^{5} + 5$ で置き換えます。

$\frac{2}{15} {(x^{5} + 5)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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