微分積分例

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (t)$ を $1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 5

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 5.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 6

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ を掛けます。

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1 u^{2}$ を $- u^{2}$ に書き換えます。

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 7.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 7.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u$ のすべての発生を $\cos (t)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

ステップ 13.2

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例