微分積分例

$f (x) = x^{8} - 8 x^{7}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{8} - 8 x^{7}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{7}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$8 x^{7} - 8 \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{7} - 8 (7 x^{6})$

ステップ 1.1.2.3

$7$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{7} - 56 x^{6}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x^{7} - 56 x^{6}$ です。

$8 x^{7} - 56 x^{6}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x^{7} - 56 x^{6} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x^{7} - 56 x^{6} = 0$

ステップ 2.2

$8 x^{6}$ を $8 x^{7} - 56 x^{6}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$8 x^{6}$ を $8 x^{7}$ で因数分解します。

$8 x^{6} (x) - 56 x^{6} = 0$

ステップ 2.2.2

$8 x^{6}$ を $- 56 x^{6}$ で因数分解します。

$8 x^{6} (x) + 8 x^{6} (- 7) = 0$

ステップ 2.2.3

$8 x^{6}$ を $8 x^{6} (x) + 8 x^{6} (- 7)$ で因数分解します。

$8 x^{6} (x - 7) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{6} = 0$

$x - 7 = 0$

ステップ 2.4

$x^{6}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{6}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{6} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{6} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt[6]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 2.6

最終解は $8 x^{6} (x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 7$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{8} - 8 x^{7}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{8} - 8 {(0)}^{7}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 8 {(0)}^{7}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 8 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = 7$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$7$ を $x$ に代入します。

${(7)}^{8} - 8 {(7)}^{7}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$7$ を $8$ 乗します。

$5764801 - 8 {(7)}^{7}$

ステップ 4.2.2.1.2

$7$ を $7$ 乗します。

$5764801 - 8 \cdot 823543$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 8$ に $823543$ をかけます。

$5764801 - 6588344$

ステップ 4.2.2.2

$5764801$ から $6588344$ を引きます。

$- 823543$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (7, - 823543)$

ステップ 5

微分積分 例

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