微分積分例

$\int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\int \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 4

半角公式を利用して $\sin^{2} (t)$ を $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ に $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ をかけます。

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

ステップ 5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

ステップ 7

$u_{1} = 2 t$ とします。次に $d u_{1} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{1} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

ステップ 9

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ を展開します。

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ステップ 9.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.4

$\cos (u_{1})$ を移動させます。

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.5

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.6

$\cos (u_{1})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.8

負をくくり出します。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.9

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.10

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 9.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

ステップ 9.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.13

$\cos (u_{1})$ から $\cos (u_{1})$ を引きます。

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.14

$0$ から $\cos^{2} (u_{1})$ を引きます。

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 12

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 13

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 15

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 16

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 17

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 17.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 17.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 17.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 17.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 17.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 17.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

ステップ 18

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

ステップ 19

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 20

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

ステップ 21

簡約します。

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ステップ 21.1

簡約します。

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

ステップ 21.2

簡約します。

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ステップ 21.2.1

$u_{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

ステップ 21.2.2

$u_{1}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

ステップ 21.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

ステップ 21.2.4

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

ステップ 21.2.5

$2 u_{1}$ から $u_{1}$ を引きます。

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

ステップ 22

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 22.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

ステップ 22.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

ステップ 22.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

ステップ 22.4

$u_{1}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 t))}{4}) + C$

ステップ 22.5

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

ステップ 23

簡約します。

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ステップ 23.1

各項を簡約します。

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ステップ 23.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 23.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

ステップ 23.1.1.2

$\arcsin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

ステップ 23.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

ステップ 23.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \arcsin (x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

ステップ 23.3

$\frac{1}{8}$ と $\arcsin (x)$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x)}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

ステップ 23.4

$\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4})$ を掛けます。

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ステップ 23.4.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{8 \cdot 4} + C$

ステップ 23.4.2

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{32} + C$

ステップ 24

項を並べ替えます。

$\frac{1}{8} \arcsin (x) - \frac{1}{32} \sin (4 \arcsin (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例