微分積分例

$\int x^{2} \cos (4 x) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \cos (4 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ と $\sin (4 x)$ をまとめます。

$x^{2} \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{\sin (4 x)}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int \sin (4 x) (x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

ステップ 4.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \sin (4 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cos (4 x)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{\cos (4 x)}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

ステップ 6.3

$\cos (4 x)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - - \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

ステップ 8.2

$\int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

ステップ 10

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 10.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u)$

ステップ 11

$\cos (u)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u)$

ステップ 13.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u)$

ステップ 14

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$ を $\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2

簡約します。

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ステップ 15.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.2

$\frac{x^{2}}{4}$ と $\sin (4 x)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.3

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.4

$\cos (4 x)$ と $\frac{x}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.5

$\frac{1}{16}$ と $\sin (u)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) + C$

ステップ 15.2.6

$- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

ステップ 15.2.7

$- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

ステップ 15.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

ステップ 15.2.9

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 4 (\frac{1}{2}) (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

ステップ 15.2.10

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 4}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

ステップ 15.2.11

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.11.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

ステップ 15.2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

ステップ 15.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

ステップ 15.2.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

ステップ 15.2.11.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16})}{4} + C$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4}) - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

ステップ 17.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.2.1

$- \frac{\cos (4 x) x}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

ステップ 17.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

ステップ 17.2.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

ステップ 17.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

ステップ 17.2.5

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

ステップ 17.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 (- 1) \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

ステップ 17.3.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

ステップ 17.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

ステップ 17.3.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 17.4

各項を簡約します。

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ステップ 17.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - - \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 17.4.2

$- - \frac{\cos (4 x) x}{2}$ を掛けます。

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ステップ 17.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 1 \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 17.4.2.2

$\frac{\cos (4 x) x}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 17.5

$\frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{x \cos (4 x)}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分子を簡約します。

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ステップ 18.1.1

$x^{2} \sin (4 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + x^{2} \sin (4 x) \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.2

$x^{2} \sin (4 x)$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.4

$\frac{x \cos (4 x)}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 18.1.5.1

$\frac{x \cos (4 x)}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.7

因数分解した形で $\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}$ を書き換えます。

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ステップ 18.1.7.1

$4$ を $x \cos (4 x)$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{4 \cdot (x \cos (4 x)) + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.1.7.2

$8$ を $x^{2} \sin (4 x)$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

ステップ 18.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

ステップ 18.3

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 18.3.1

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

ステップ 18.3.2

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{32} + C$

ステップ 18.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{32} (4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例