微分積分例

$\int \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 1

$1$ と $- x$ を並べ替えます。

$\int \frac{x}{- x + 1} d x$

ステップ 2

$x$ を $- x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

-

$x$

+

$1$

$x$

+

$0$

ステップ 2.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $- x$ の最高次項で割ります。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

ステップ 2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

$\int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$- x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 5

$u = - x + 1$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

$- 1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

$- x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$- x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- x + C - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- x + C - (\ln (| u |) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$- x - \ln (| u |) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $- x + 1$ で置き換えます。

$- x - \ln (| - x + 1 |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$