微分積分例

$\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$

ステップ 1

$e^{4 x}$ と $\cos (3 x)$ を並べ替えます。

$\int \cos (3 x) e^{4 x} d x$

ステップ 2

$u = \cos (3 x)$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4} \cdot - 3$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4} \cdot - 3$ を積分の外に移動させます。

$\cos (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\cos (3 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

ステップ 4.2

$\cos (3 x)$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

ステップ 4.3

$\frac{1}{4}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

ステップ 4.4

$e^{4 x}$ と $\sin (3 x)$ を並べ替えます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} \int \sin (3 x) e^{4 x} d x)$

ステップ 5

$u = \sin (3 x)$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (3 \cos (3 x)) d x))$

ステップ 6

$\frac{1}{4} \cdot 3$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4} \cdot 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

ステップ 7.2

$\sin (3 x)$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

ステップ 7.3

$\frac{1}{4}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3}{4} \cdot \frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

ステップ 7.5

$\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4}$ に $\frac{- 3}{4}$ をかけます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{4 \cdot 4} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

ステップ 7.6

掛け算します。

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ステップ 7.6.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

ステップ 7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + 1 (\frac{- 3}{4}) (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)$

ステップ 7.6.3

$\frac{- 3}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 3}{4} (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)$

ステップ 7.7

$\frac{3}{4}$ に $\frac{- 3}{4}$ をかけます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{3 \cdot - 3}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

ステップ 7.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 9}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

ステップ 7.8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 9}{16} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$ を解くと、 $\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16}}{\frac{25}{16}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 3$ を $\sin (3 x) e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3 \cdot (\sin (3 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

ステップ 9.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

ステップ 9.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

ステップ 9.1.4

$\frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

ステップ 9.1.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{25}{16}$ で割ります。

$(\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{25} + C$

ステップ 9.2

$(\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{25} + C$ を $(\frac{1}{4} \cos (3 x) e^{4 x} + \frac{3}{16} \sin (3 x) e^{4 x}) \frac{16}{25} + C$ に書き換えます。

$(\frac{1}{4} \cos (3 x) e^{4 x} + \frac{3}{16} \sin (3 x) e^{4 x}) \frac{16}{25} + C$

微分積分 例

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