微分積分例

$\int e^{3 x} + 5 e^{- x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{3 x} d x + \int 5 e^{- x} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

ステップ 3

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

ステップ 5

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- x} d x$

ステップ 6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- x} d x$

ステップ 7

$u_{2} = - x$ とします。次に $d u_{2} = - d x$ すると、 $- d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = - x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 9

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} - 5 e^{u_{2}} + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{u_{2}} + C$

ステップ 12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{- x} + C$

微分積分 例

微分積分例