微分積分例

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

ステップ 2

$u = \frac{x}{3}$ とします。次に $d u = \frac{1}{3} d x$ すると、 $3 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \frac{x}{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{x}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 2.2

$u = \frac{x}{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

ステップ 2.4

$u = \frac{x}{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

ステップ 3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

ステップ 3.3

$3$ を $\cot (u)$ の左に移動させます。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

ステップ 4

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

ステップ 5

$3$ に $2$ をかけます。

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

ステップ 6

$\cot (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sin (u) |)$ です。

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 7

$\frac{π}{3}$ および $\frac{π}{6}$ で $\ln (| \sin (u) |)$ の値を求めます。

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

ステップ 8.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

ステップ 8.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ は約 $0.8660254$ 。正の数なので絶対値を削除します

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

ステップ 9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

共通因数を約分します。

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

ステップ 9.4.2

式を書き換えます。

$6 \ln (\sqrt{3})$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$6 \ln (\sqrt{3})$

10進法形式：

$3.29583686 \dots$

微分積分 例

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