微分積分例

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

ステップ 2

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 2.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (2 π)$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{upper} = \cos (0)$

ステップ 2.5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

ステップ 4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ と $u^{4}$ をまとめます。

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$1$ および $\frac{1}{2}$ で $\frac{u^{4}}{4}$ の値を求めます。

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

ステップ 7.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

公分母の分子をまとめます。

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

ステップ 8.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

ステップ 8.2.3

$2$ を $4$ 乗します。

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

ステップ 8.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

ステップ 8.5

$16$ から $1$ を引きます。

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

ステップ 8.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

ステップ 8.6.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

ステップ 8.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{15}{16}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{15}{16}$

10進法形式：

$- 0.9375$

微分積分 例

微分積分例