微分積分例

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 1 + \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1 + \ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$0 + \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

対数の法則を利用して指数の外に $u - 1$ を移動します。

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.1.3

$u - 1$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $1 + \ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例