微分積分例

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

ステップ 1

$e^{- x}$ と $\sin (4 x)$ を並べ替えます。

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

ステップ 2

$u = \sin (4 x)$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

ステップ 3

$- 1 \cdot 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1 \cdot 4$ を積分の外に移動させます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

ステップ 4.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

ステップ 4.3

$e^{- x}$ と $\cos (4 x)$ を並べ替えます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

ステップ 5

$u = \cos (4 x)$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

ステップ 6

$- - 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- - 4$ を積分の外に移動させます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

ステップ 7

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

ステップ 7.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

ステップ 7.4

掛け算します。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

ステップ 7.4.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ を解くと、 $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ であることが分かります。

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ を $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ に書き換えます。

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$e^{- x}$ を $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1.1.1

$e^{- x}$ を $- \sin (4 x) e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

ステップ 9.2.1.1.2

$e^{- x}$ を $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

ステップ 9.2.1.1.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

ステップ 9.2.1.2

$- 1$ を $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1.2.1

$- 1$ を $- \sin (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

ステップ 9.2.1.2.2

$- 1$ を $- 4 \cos (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

ステップ 9.2.1.2.3

$- 1$ を $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

ステップ 9.2.1.3

負をくくり出します。

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例