微分積分例

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$e^{- 2 x}$ と $\sin (2 x)$ を並べ替えます。

$\int \sin (2 x) e^{- 2 x} d x$

ステップ 2

$u = \sin (2 x)$ と $d v = e^{- 2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 4.2

$\sin (2 x)$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 4.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 4.5

$e^{- 2 x}$ と $\cos (2 x)$ を並べ替えます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) e^{- 2 x} d x)$

ステップ 5

$u = \cos (2 x)$ と $d v = e^{- 2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

ステップ 6

$- \frac{1}{2} \cdot - 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

ステップ 7.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

ステップ 7.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

ステップ 7.4

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

ステップ 7.5

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}) - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

ステップ 7.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{- 2}{2}) \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

ステップ 7.6.2

$\frac{- 2}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

ステップ 7.7

$\frac{- 2}{2}$ に $\frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

ステップ 7.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

ステップ 7.8.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + 1 (\frac{- 2}{2}) (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 7.8.3

$\frac{- 2}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 2}{2} (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 7.9

$\frac{2}{2}$ に $\frac{- 2}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

ステップ 7.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

ステップ 7.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ を解くと、 $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}}$ であることが分かります。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$2$ を $- 2 \cos (2 x) e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 (2)}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- \cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.3

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

ステップ 9.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

ステップ 9.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

ステップ 9.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

ステップ 9.1.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 9.2

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$ を $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$\sin (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

ステップ 9.3.2

$e^{- 2 x}$ と $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

ステップ 9.3.3

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{\cos (2 x)}{2} e^{- 2 x}) + C$

ステップ 9.3.4

$e^{- 2 x}$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

ステップ 9.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

ステップ 9.4.2

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

ステップ 9.4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

ステップ 9.4.3

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}$ をかけます。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{4} + C$

ステップ 9.5

括弧を削除します。

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x} \sin (2 x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cos (2 x) + C$

微分積分 例

微分積分例