微分積分例

$\int \cos^{7} (x) d x$

ステップ 1

$\cos^{6} (x)$ を因数分解します。

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

ステップ 2.2

${\cos (x)}^{2 (3)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

ステップ 4

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

ステップ 5

${(1 - u^{2})}^{3}$ を展開します。

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ステップ 5.1

二項定理を利用します。

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

ステップ 5.2

累乗法を積に書き換えます。

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

ステップ 5.3

累乗法を積に書き換えます。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

ステップ 5.4

累乗法を積に書き換えます。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

ステップ 5.5

累乗法を積に書き換えます。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

ステップ 5.6

累乗法を積に書き換えます。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

ステップ 5.7

累乗法を積に書き換えます。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.8

$u^{2}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.9

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.10

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.11

$u^{2}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.12

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 5.13

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.14

$u^{2}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.15

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.16

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.17

$3$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.18

$3$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.19

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.20

$3$ に $1$ をかけます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.21

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.22

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.24

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.25

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.26

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.27

負をくくり出します。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 5.28

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

ステップ 5.29

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

ステップ 5.30

負をくくり出します。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

ステップ 5.31

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

ステップ 5.32

$4$ と $2$ をたし算します。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

ステップ 5.33

$1$ と $- 3 u^{2}$ を並べ替えます。

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

ステップ 5.34

$1$ を移動させます。

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

ステップ 5.35

$- 3 u^{2}$ と $3 u^{4}$ を並べ替えます。

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

ステップ 5.36

$1$ を移動させます。

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

ステップ 5.37

$- 3 u^{2}$ を移動させます。

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

ステップ 5.38

$3 u^{4}$ と $- u^{6}$ を並べ替えます。

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

ステップ 9

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

ステップ 11

$- 3$ は $u$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$\frac{1}{7}$ と $u^{7}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

ステップ 14.1.2

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

ステップ 14.1.3

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

ステップ 14.2

簡約します。

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

微分積分 例

微分積分例