微分積分例

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

ステップ 1

$u = 1 - 6 t$ とします。次に $d u = - 6 d t$ すると、 $- \frac{1}{6} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - 6 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - 6 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - 6 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [- 6 t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 6 t$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 6 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 - 6$

ステップ 1.1.4

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{u^{4}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

ステップ 2.3

$6$ を $u^{4}$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$d$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

ステップ 5.1.2

$t$ と $\frac{d}{6}$ をまとめます。

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

ステップ 5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.1

$u^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2.2

${(u^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 4}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ です。

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$u^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

ステップ 7.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 3}$ を分母に移動させます。

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

ステップ 7.2

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ を $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$t$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

ステップ 7.3.2

$d$ と $\frac{t}{6}$ をまとめます。

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

ステップ 7.3.4

$\frac{d t}{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

ステップ 7.3.5

$\frac{d t}{6}$ に $\frac{1}{3 u^{3}}$ をかけます。

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

ステップ 7.3.6

$3$ に $6$ をかけます。

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $1 - 6 t$ で置き換えます。

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$

微分積分 例

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