微分積分例

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sin (t)$ とします。次に $d x = 3 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.2.1

$3 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

$3 \cos (t)$ を ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

ステップ 2.2.1.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ を $3 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $3 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

ステップ 2.2.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

ステップ 3

$\frac{1}{9}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ を $\csc^{2} (t)$ に変換します。

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

ステップ 4.2

$d$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

ステップ 4.3

$x$ と $\frac{d}{9}$ をまとめます。

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 5

$- \cot (t)$ の微分係数が $\csc^{2} (t)$ なので、 $\csc^{2} (t)$ の積分は $- \cot (t)$ です。

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ を $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{9}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

ステップ 6.2.2

$\frac{x}{9}$ と $d$ をまとめます。

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{x d}{9}$ と $\cot (t)$ をまとめます。

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

ステップ 7

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ は $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ です。

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

ステップ 8.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{3}$ です。

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.8

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.9

$\frac{3 + x}{3}$ に $\frac{3 - x}{3}$ をかけます。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.10

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.11

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 8.11.1

$(3 + x) (3 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.11.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.11.3

分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.12

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.13

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ をまとめます。

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.14

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.14.1

共通因数を約分します。

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

ステップ 8.14.2

式を書き換えます。

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

ステップ 8.15

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

ステップ 8.16

指数をまとめます。

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ステップ 8.16.1

$x$ と $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ をまとめます。

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

ステップ 8.16.2

$d$ と $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

ステップ 8.17

不要な括弧を削除します。

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

ステップ 8.18

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 8.18.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ を約分します。

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ステップ 8.18.1.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

ステップ 8.18.1.2

式を書き換えます。

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

ステップ 8.18.2

$d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$

微分積分 例

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