微分積分例

$\int \tan^{4} (2 x) \sec^{4} (2 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan^{4} (u_{1})$ をまとめます。

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{2} \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{\tan^{4} (u_{1})}{2}$ と $\sec^{4} (u_{1})$ をまとめます。

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

ステップ 4.2

${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) (\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (u_{1})$ を $1 + \tan^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) ((1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\tan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1})$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

ステップ 7

${u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2})$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} \cdot 1 + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

${u_{2}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 8.2

指数を足して ${u_{2}}^{4}$ に ${u_{2}}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

ステップ 8.2.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

ステップ 10

べき乗則では、 ${u_{2}}^{4}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

ステップ 11

べき乗則では、 ${u_{2}}^{6}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C)$

ステップ 12

簡約します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (u_{1}) + \frac{1}{7} \tan^{7} (u_{1})) + C$

ステップ 13.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (2 x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (2 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例