微分積分例

$\int \tan^{3} (x) \sec^{4} (x) d x$

ステップ 1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

ステップ 1.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \tan^{3} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 3

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{3} (1 + u^{2}) d u$

ステップ 4

$u^{3} (1 + u^{2})$ を掛けます。

$\int u^{3} \cdot 1 + u^{3} u^{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u^{3}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} d u$

ステップ 5.2

指数を足して $u^{3}$ に $u^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{3} + u^{3 + 2} d u$

ステップ 5.2.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{3} + u^{5} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$

微分積分 例

微分積分例