微分積分例

$\int \tan^{3} (3 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 2

$\tan^{3} (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{3} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$\tan^{2} (u_{1})$ を因数分解します。

$\frac{1}{3} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (u_{1})$ を $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 9

$\tan (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ です。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 10

$u_{2} = \sec (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{2} = \sec (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$\sec (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

ステップ 10.1.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 11

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 12

簡約します。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

ステップ 13.2

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

ステップ 13.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (3 x)) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{2}$ と $\sec^{2} (3 x)$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{\sec^{2} (3 x)}{2}) + C$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

ステップ 14.3

$\frac{1}{3}$ と $\ln (| \sec (3 x) |)$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

ステップ 14.4

まとめる。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1 \sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

ステップ 14.5

各項を簡約します。

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ステップ 14.5.1

$\sec^{2} (3 x)$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

ステップ 14.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

微分積分 例

微分積分例