微分積分例

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

ステップ 1

$\cos^{4} (x)$ を因数分解します。

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

ステップ 2.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

ステップ 4

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

ステップ 5

$u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 5.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ を $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ に書き換えます。

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.7

分配則を当てはめます。

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.8

$u^{7}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.9

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.10

$u^{7}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.11

$u^{2}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.12

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.13

$u^{7}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

ステップ 5.14

$u^{2}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.15

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 5.16

括弧を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.17

$u^{7}$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.18

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.19

$u^{7}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.20

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.21

負をくくり出します。

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.23

$7$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.24

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.25

負をくくり出します。

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.26

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.27

$7$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.28

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.29

$u^{7}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.30

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

ステップ 5.31

$7$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

ステップ 5.32

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

ステップ 5.33

$9$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

ステップ 5.34

$- u^{9}$ から $u^{9}$ を引きます。

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

ステップ 5.35

$- 2 u^{9}$ と $u^{11}$ を並べ替えます。

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

ステップ 5.36

$u^{7}$ を移動させます。

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{11}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{12} u^{12}$ です。

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

ステップ 8

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{9}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{10} u^{10}$ です。

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{10}$ と $u^{10}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

微分積分 例

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