微分積分例

$\int \sqrt{x^{2} - 4} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sec (t)$ とします。次に $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ を ${(2 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int 2 \tan (t) (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int 4 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.2

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

ステップ 2.2.3

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

ステップ 2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 4 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 4 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$4 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$4 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

$4 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 8

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 9

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 10

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 11

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

ステップ 12

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

ステップ 13

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 15.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 16

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

ステップ 17

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

累乗法を積に書き換えます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 17.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 18

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

ステップ 19

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 21

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 22

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

ステップ 23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

ステップ 24

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 25

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 26

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 27

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 28

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 28.1

分配則を当てはめます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 28.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 29

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 30

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

ステップ 31

簡約します。

$4 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 32

簡約します。

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ステップ 32.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 32.2

$- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ と $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ をたし算します。

$4 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 32.3

$4$ と $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

ステップ 32.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 32.4.1

$2$ を $4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

ステップ 32.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 32.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

ステップ 32.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 32.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

ステップ 32.4.2.4

$2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ を $1$ で割ります。

$2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 33

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$2 (\sec (arcsec (\frac{x}{2})) \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1

各項を簡約します。

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ステップ 34.1.1

関数の正割と逆正割は逆です。

$2 (\frac{x}{2} \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.2

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ は $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ です。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.9

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.10

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.11

$\frac{x + 2}{2}$ に $\frac{x - 2}{2}$ をかけます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.12

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.13

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

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ステップ 34.1.13.1

$(x + 2) (x - 2)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.13.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.14

累乗根の下から項を取り出します。

$2 (\frac{x}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.15

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.16

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}$ を掛けます。

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ステップ 34.1.16.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x}{2}$ をかけます。

$2 (\frac{x}{2 \cdot 2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.16.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{x}{4} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.17

$\frac{x}{4}$ と $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.18

各項を簡約します。

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ステップ 34.1.18.1

関数の正割と逆正割は逆です。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 34.1.18.2

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} |)) + C$

ステップ 34.1.18.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} |)) + C$

ステップ 34.1.18.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

ステップ 34.1.18.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

ステップ 34.1.18.6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

ステップ 34.1.18.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} |)) + C$

ステップ 34.1.18.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} |)) + C$

ステップ 34.1.18.9

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} |)) + C$

ステップ 34.1.18.10

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} |)) + C$

ステップ 34.1.18.11

$\frac{x + 2}{2}$ に $\frac{x - 2}{2}$ をかけます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} |)) + C$

ステップ 34.1.18.12

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} |)) + C$

ステップ 34.1.18.13

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.18.13.1

$(x + 2) (x - 2)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} |)) + C$

ステップ 34.1.18.13.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} |)) + C$

ステップ 34.1.18.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} |)) + C$

ステップ 34.1.18.14

累乗根の下から項を取り出します。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$

ステップ 34.1.18.15

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

ステップ 34.1.19

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

ステップ 34.1.20

絶対値から非負の項を削除します。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})) + C$

ステップ 34.2

$- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

ステップ 34.3

$- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} + \frac{- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

ステップ 34.4

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

ステップ 34.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{4} + C$

ステップ 34.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 (2)} + C$

ステップ 34.6.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 34.6.3

式を書き換えます。

$\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2} + C$

ステップ 35

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{1}{2} | x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$

微分積分 例

微分積分例