微分積分例

$\int \sqrt{16 - 9 x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{4}{3} \sin (t)$ とします。次に $d x = \frac{4 \cos (t)}{3} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{4 \cos (t)}{3}$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$\frac{4}{3}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4 \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{4 \sin (t)}{3}$ に当てはめます。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $4 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{4^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.5

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.5.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\int \sqrt{16 + 9 (- 1) \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{16 + 9 \cdot - 1 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.5.3

式を書き換えます。

$\int \sqrt{16 - 1 (16 \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.6

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\int \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.3

$16$ を $- 16 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.4

$16$ を $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{16 \cos^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ を ${(4 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int 4 \cos (t) \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{4 \cos (t)}{3}$ と $4$ をまとめます。

$\int \frac{4 \cos (t) \cdot 4}{3} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\int \frac{16 \cos (t)}{3} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{16 \cos (t)}{3}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\int \frac{16 \cos (t) \cos (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.4

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} d t$

ステップ 2.2.5

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} d t$

ステップ 2.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{16 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} d t$

ステップ 2.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{16 \cos^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 3

$\frac{16}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{16}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{16}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\frac{16}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{16}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{16}{3}$ をかけます。

$\frac{16}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{16}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3

$16$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2 (8)}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{8}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{8}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 12

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{8}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ で置き換えます。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14.2

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 14.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ で置き換えます。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ をまとめます。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

ステップ 15.3

$\frac{8}{3}$ と $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ をまとめます。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

ステップ 15.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

ステップ 15.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

ステップ 15.4.3

式を書き換えます。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4})) + C$

ステップ 15.5

$\frac{4}{3}$ と $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ をまとめます。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4 \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{3} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3}{4} x) + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3}{4} x)) + C$

微分積分 例

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