微分積分例

$\int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (12 x^{2}) d x$

ステップ 1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (x^{2}) d x$

ステップ 2

$u = 1 + 4 x^{3}$ とします。次に $d u = 12 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + 4 x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + 4 x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x^{3}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 + 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$0 + 12 x^{2}$

ステップ 2.1.4

$0$ と $12 x^{2}$ をたし算します。

$12 x^{2}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$12 \int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

ステップ 3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$12 \int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{12}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.3

$\int \sqrt{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 + 4 x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(1 + 4 x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例