微分積分例

$\int t e^{- t} d t$

ステップ 1

$u = t$ と $d v = e^{- t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t$

ステップ 2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t$

ステップ 3.2

$\int e^{- t} d t$ に $1$ をかけます。

$t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t$

ステップ 4

$u = - t$ とします。次に $d u = - d t$ すると、 $- d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$

ステップ 7

$t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$ を $- t e^{- t} - e^{u} + C$ に書き換えます。

$- t e^{- t} - e^{u} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$- t e^{- t} - e^{- t} + C$

微分積分 例

微分積分例