微分積分例

$\int \sec^{4} (x) \tan^{4} (x) d x$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{4} (x) d x$

ステップ 1.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

ステップ 3

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (1 + u^{2}) u^{4} d u$

ステップ 4

$(1 + u^{2}) u^{4}$ を掛けます。

$\int 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$u^{4}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

ステップ 5.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{4} + u^{2 + 4} d u$

ステップ 5.2.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$\int u^{4} + u^{6} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int u^{6} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (x) + C$

微分積分 例

微分積分例