微分積分例

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u^{3}}$ を $u^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ です。

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ を $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ に書き換えます。

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 6.2.4

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ に変換します。

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.3

$2$ を $1$ で割ります。

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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