微分積分例

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 3

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 3.2

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

ステップ 3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

ステップ 3.4

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 4

$\csc (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 6.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 6.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 7

$\csc (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ です。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

ステップ 8

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $- 8$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \cot (2 x) d x$

ステップ 9

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u_{2} = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

ステップ 9.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 9.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

ステップ 9.4

$u_{2} = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 9.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 9.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 9.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 10

$\cot (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $- 8$ をまとめます。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 12.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 12.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 12.2.2.3

式を書き換えます。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 12.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 13

$\cot (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ です。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 14

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{4}$ で $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ の値を求めます。

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 14.2

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{4}$ で $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ の値を求めます。

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 ((\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 14.3

括弧を削除します。

$4 (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$4 (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 15.2

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 15.3

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 15.4

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 15.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

ステップ 15.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

ステップ 15.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4 (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

ステップ 15.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

ステップ 15.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

ステップ 15.10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

ステップ 15.11

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$4 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

ステップ 16.2

$\sqrt{2} - 1$ は約 $0.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

ステップ 16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

ステップ 16.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ は約 $0.70710678$ 。正の数なので絶対値を削除します

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

ステップ 16.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

ステップ 16.6

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

10進法形式：

$2.13919998 \dots$

微分積分 例

微分積分例