微分積分例

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

ステップ 1

$u = r^{2}$ と $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

ステップ 2.2

$a$ と $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ をまとめます。

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

ステップ 2.3

$r^{2}$ と $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

ステップ 3

$- \frac{1}{2} a \cdot 2$ は $r$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$a$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.3

$- 2$ と $\frac{a}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2$ を $- 2 a$ で因数分解します。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.4.2.4

$- a$ を $1$ で割ります。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

ステップ 4.6

$a$ に $1$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

ステップ 5

$u = r$ と $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

ステップ 6.2

$a$ と $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

ステップ 6.3

$r$ と $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

ステップ 6.4

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

ステップ 6.5

$a$ と $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

ステップ 7

$- 1$ は $r$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

ステップ 8.2

$\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ に $1$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

ステップ 9

$\frac{a}{2}$ は $r$ に対して定数なので、 $\frac{a}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

ステップ 10

$u = - \frac{2 r}{a}$ とします。次に $d u = - \frac{2}{a} d r$ すると、 $- \frac{a}{2} d u = d r$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = - \frac{2 r}{a}$ とします。 $\frac{d u}{d r}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$- \frac{2 r}{a}$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

ステップ 10.1.2

$- \frac{2}{a}$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $- \frac{2 r}{a}$ の微分係数は $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ です。

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{a}$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

ステップ 11.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{2}{a}$ で割ります。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

ステップ 11.3

$\frac{a}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

ステップ 11.4

$\frac{a}{2}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

ステップ 12

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

ステップ 13

$\frac{a}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{a}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{a}{2}$ に $\frac{a}{2}$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 14.2

$a$ を $1$ 乗します。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 14.3

$a$ を $1$ 乗します。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 14.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 14.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 14.6

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 15

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ を $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

ステップ 16.2

簡約します。

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ステップ 16.2.1

$r^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.2

$a$ と $\frac{r^{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.3

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ と $\frac{a r^{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.4

$r$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.5

$a$ と $\frac{r}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.6

$e^{- \frac{2 r}{a}}$ と $\frac{a r}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.7

$a^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.8

$e^{u}$ と $\frac{a^{2}}{4}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

ステップ 16.2.9

$a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 16.2.10

$a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 16.2.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 16.2.12

$2$ を $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ の左に移動させます。

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

ステップ 17

$u$ のすべての発生を $- \frac{2 r}{a}$ で置き換えます。

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

ステップ 18

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$

微分積分 例

微分積分例