微分積分例

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.2

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

ステップ 4

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

ステップ 5

$\sin (t)$ の $t$ に関する積分は $- \cos (t)$ です。

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

ステップ 7

簡約します。

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

ステップ 8

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$

微分積分 例

微分積分例