微分積分例

$\int - \frac{2200 x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{2200 x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

ステップ 2

$2200$ は $x$ に対して定数なので、 $2200$ を積分の外に移動させます。

$- (2200 \int \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x)$

ステップ 3

$2200$ に $- 1$ をかけます。

$- 2200 \int \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

ステップ 4

$u = 25 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 25 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$25 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $25 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 4.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- 2200 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- 2200 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 5.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- 2200 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 5.3

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$- 2200 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 2200 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

ステップ 7

$- 1$ に $- 2200$ をかけます。

$2200 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2200 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{2}$ と $2200$ をまとめます。

$\frac{2200}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 9.1.2

$2200$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.2.1

$2$ を $2200$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1100}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 9.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1100}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 9.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1100}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 9.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1100}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 9.1.2.2.4

$1100$ を $1$ で割ります。

$1100 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 9.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1100 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 9.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$1100 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 9.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1100 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$1100 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 9.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$1100 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$1100 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$1100 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $1100 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$1100 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11.2

$1100$ に $2$ をかけます。

$2200 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $25 - x^{2}$ で置き換えます。

$2200 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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