微分積分例

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$6$ を $12 x + 18$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$6$ を $12 x$ で因数分解します。

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

ステップ 1.1.2

$6$ を $18$ で因数分解します。

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

ステップ 1.1.3

$6$ を $6 (2 x) + 6 (3)$ で因数分解します。

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

ステップ 2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

ステップ 3

$u = (x - 1) (x + 4)$ とします。次に $d u = (2 x + 3) d x$ すると、 $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = (x - 1) (x + 4)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$(x - 1) (x + 4)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

ステップ 3.1.2

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.1.3

微分します。

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ステップ 3.1.3.1

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.1.3.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.1.3.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.1.3.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.1.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

ステップ 3.1.3.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

ステップ 3.1.3.8.2

$x + 4$ に $1$ をかけます。

$x - 1 + x + 4$

ステップ 3.1.3.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x - 1 + 4$

ステップ 3.1.3.8.4

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$2 x + 3$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 6.2

$6$ に $2$ をかけます。

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $(x - 1) (x + 4)$ で置き換えます。

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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