微分積分例

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

ステップ 1

$5 x$ を $10 x^{3} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$5 x$ を $10 x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

ステップ 1.2

$5 x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

ステップ 1.3

$5 x$ を $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ で因数分解します。

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

ステップ 2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.1.4.2.3

式を書き換えます。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 4.2

$\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 4.3

$2$ を $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ の左に移動させます。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

ステップ 7

$u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ とします。次に $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

ステップ 7.1.2

微分します。

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ステップ 7.1.2.1

総和則では、 ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

ステップ 7.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

ステップ 7.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ の値を求めます。

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ステップ 7.1.3.1

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- u_{1}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

ステップ 7.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

ステップ 7.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

ステップ 7.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 7.1.4.1

$6$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$2 u_{1} - 1 + 0$

ステップ 7.1.4.2

$2 u_{1} - 1$ と $0$ をたし算します。

$2 u_{1} - 1$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 8.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 8.3

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

ステップ 8.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{5}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.3

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ で置き換えます。

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例