微分積分例

$\int \cos^{3} (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x)$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int {u_{2}}^{3} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.2

${u_{2}}^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int - \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

ステップ 5

べき乗則では、 ${u_{2}}^{3}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ です。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{4 \cdot 2} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 6.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (2 x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{8} \cos^{4} (2 x) + C$

微分積分 例

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