微分積分例

$\int \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1} d x$

ステップ 1

$8 x^{3} - 1$ を $2 x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 1.2

被除数 $8 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $8 x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 1.7

被除数 $4 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

ステップ 1.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

ステップ 1.12

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

ステップ 1.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

ステップ 1.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

ステップ 1.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$
										$0$

ステップ 1.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$\int 4 x^{2} + 2 x + 1 d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

ステップ 8.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

ステップ 8.2

簡約します。

$\frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + x + C$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{4}{3} x^{3} + x^{2} + x + C$

微分積分 例

微分積分例