微分積分例

$\int \frac{4 x^{3} - 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{4 x^{3}}{x} + \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4 x^{3}}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 3.1.2.4

式を書き換えます。

$\int \frac{4 x^{2}}{1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 3.1.2.5

$4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\int 4 x^{2} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int 4 x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

ステップ 8.1.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 8.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 8.3.2

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 8.3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 8.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 8.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 8.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

ステップ 8.3.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 8.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 8.4.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 8.4.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 8.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{4 x^{3}}{3} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 10.2

式を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4 x^{3}}{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.2

項を並べ替えます。

$\frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例