微分積分例

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

ステップ 4.4

$3$ から $1$ を引きます。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.1

共通因数を約分します。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

ステップ 4.5.2

式を書き換えます。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{1} d x$

ステップ 4.6

簡約します。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x d x$

ステップ 4.7

$4 x^{- \frac{1}{2}}$ と $5 x$ を並べ替えます。

$\int 5 x + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$5 (\frac{1}{2}) x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{5}{2} x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{2} x^{2} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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