微分積分例

$y = \sin (\sin (x))$ , $(3 π, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3 π$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

ステップ 1.3

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

ステップ 1.4

$x = 3 π$ で微分係数を求めます。

$\cos (3 π) \cos (\sin (3 π))$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (π) \cos (\sin (3 π))$

ステップ 1.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \cos (0) \cos (\sin (3 π))$

ステップ 1.5.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (3 π))$

ステップ 1.5.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 \cos (\sin (3 π))$

ステップ 1.5.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 1 \cos (\sin (π))$

ステップ 1.5.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 1 \cos (\sin (0))$

ステップ 1.5.7

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 1 \cos (0)$

ステップ 1.5.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 1$ と与えられた点 $(3 π, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (3 π))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = - 1 \cdot (x - 3 π)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = - 1 \cdot (x - 3 π)$

ステップ 2.3.2

$- 1 \cdot (x - 3 π)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = - 1 x - 1 (- 3 π)$

ステップ 2.3.2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x - 1 (- 3 π)$

ステップ 2.3.2.2.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y = - x + 3 π$

ステップ 3

微分積分 例

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