微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 4 \sin (t)$ とします。次に $d x = 4 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $4 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $4 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$16$ を $- 16 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$16$ を $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ を ${(4 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$\int {(4 \sin (t))}^{3} d t$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4$ を $4 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int {(4 (\sin (t)))}^{3} d t$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $4 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int 4^{3} \sin^{3} (t) d t$

ステップ 2.2.2.3

$4$ を $3$ 乗します。

$\int 64 \sin^{3} (t) d t$

ステップ 3

$64$ は $t$ に対して定数なので、 $64$ を積分の外に移動させます。

$64 \int \sin^{3} (t) d t$

ステップ 4

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$64 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (t)$ を $1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$64 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

ステップ 6

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 6.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$64 \int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$64 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$64 (- u + C + \int u^{2} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$64 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$64 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u$ のすべての発生を $\cos (t)$ で置き換えます。

$64 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

ステップ 11.2

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{4})$ で置き換えます。

$64 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{4})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{4})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{x}{4}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ です。

$64 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$64 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{4}$ です。

$64 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$64 (- \sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.5

公分母の分子をまとめます。

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.7

公分母の分子をまとめます。

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.8

$\frac{4 + x}{4}$ に $\frac{4 - x}{4}$ をかけます。

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.9

$4$ に $4$ をかけます。

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.10

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ を ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.10.1

$(4 + x) (4 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.10.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.10.3

分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$64 (- \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$64 (- (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.1.12

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ をまとめます。

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

ステップ 12.2

$\frac{1}{3}$ と $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))$ をまとめます。

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3}) + C$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

ステップ 12.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$64 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

ステップ 12.4.2

$4$ を $64$ で因数分解します。

$4 (16) \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

ステップ 12.4.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot 16 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

ステップ 12.4.4

式を書き換えます。

$16 (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

ステップ 12.5

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

ステップ 12.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{4}$ です。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.5

公分母の分子をまとめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.7

公分母の分子をまとめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.8

$\frac{4 + x}{4}$ に $\frac{4 - x}{4}$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.9

$4$ に $4$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.10

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ を ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.10.1

$(4 + x) (4 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.10.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.10.3

分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.11

累乗根の下から項を取り出します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.12

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ をまとめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4})}^{3}}{3} + C$

ステップ 12.6.13

積の法則を $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ に当てはめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.14.1

${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}$ を $\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}$ に書き換えます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.2

積の法則を $(4 + x) (4 - x)$ に当てはめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.3

${(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}$ を ${((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.14.3.1

${(4 + x)}^{2}$ を因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.3.2

${(4 - x)}^{2}$ を因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) ({(4 - x)}^{2} (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.3.3

$4 + x$ を移動させます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.3.4

${(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}$ を ${((4 + x) (4 - x))}^{2}$ に書き換えます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.3.5

括弧を付けます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.4

累乗根の下から項を取り出します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 + x) (4 - x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.5

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + x) (4 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.14.5.1

分配則を当てはめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 (4 - x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.5.2

分配則を当てはめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.5.3

分配則を当てはめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.14.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.14.6.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6.1.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.14.6.1.5.1

$x$ を移動させます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6.2

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 0 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.6.3

$16$ と $0$ をたし算します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.7

分配則を当てはめます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.8

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.14.8.1

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ で因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.8.2

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $- x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ で因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.8.3

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})$ で因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (16 - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.9

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4^{2} - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.14.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = x$ です。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{4^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.6.15

$4$ を $3$ 乗します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}}{3} + C$

ステップ 12.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.7.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 (\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}) + C$

ステップ 12.7.2

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.7.2.1

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

ステップ 12.7.2.2

$64$ に $3$ をかけます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{192} + C$

ステップ 12.7.3

$64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.7.3.1

$64$ を $192$ で因数分解します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 (3)} + C$

ステップ 12.7.3.2

共通因数を約分します。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

ステップ 12.7.3.3

式を書き換えます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

ステップ 12.8

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

ステップ 12.9

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

ステップ 12.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

ステップ 12.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.11.1

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.11.1.1

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

ステップ 12.11.1.2

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))}{3} + C$

ステップ 12.11.1.3

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ を $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

ステップ 12.11.2

$- 16$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

ステップ 12.11.3

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + x) (4 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.11.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 (4 - x) + x (4 - x))}{3} + C$

ステップ 12.11.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}{3} + C$

ステップ 12.11.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

ステップ 12.11.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.11.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.11.4.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

ステップ 12.11.4.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

ステップ 12.11.4.1.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}{3} + C$

ステップ 12.11.4.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}{3} + C$

ステップ 12.11.4.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.11.4.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}{3} + C$

ステップ 12.11.4.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x^{2})}{3} + C$

ステップ 12.11.4.2

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 0 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 12.11.4.3

$16$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 12.11.5

$- 48$ と $16$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 32 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 12.12

$- 32$ を $- 1 (32)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - x^{2})}{3} + C$

ステップ 12.13

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - (x^{2}))}{3} + C$

ステップ 12.14

$- 1$ を $- 1 (32) - (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32 + x^{2}))}{3} + C$

ステップ 12.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (32 + x^{2})}{3} + C$

微分積分 例

微分積分例