微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 1

$x^{3}$ を $x^{2} - 1$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 1.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 - x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

ステップ 1.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int x + \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x d x + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 4

$u = x^{2} - 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 4.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 5.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例