微分積分例

$\int \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 7}{x - 4} d x$

ステップ 1

$x^{3} - 4 x^{2} + 7$ を $x - 4$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$7$

ステップ 1.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
						$0$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
						$0$	+	$0 x$	+	$7$

ステップ 1.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int x^{2} + \frac{7}{x - 4} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{2} d x + \int \frac{7}{x - 4} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{7}{x - 4} d x$

ステップ 4

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 7 \int \frac{1}{x - 4} d x$

ステップ 5

$u = x - 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 5.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 7 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 7 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{3} x^{3} + 7 \ln (| u |) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} x^{3} + 7 \ln (| x - 4 |) + C$

微分積分 例

微分積分例