微分積分例

$\int \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{3}}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 5 \sin (t)$ とします。次に $d x = 5 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $5 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

積の法則を $5 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.3

$25$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$25$ を $25$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$25$ を $- 25 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$25$ を $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.6

積の法則を $25 \cos^{2} (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{25^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.7

$25$ を $3$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.8

${(\cos^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 \cos^{6} (t)}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.9

$15625 \cos^{6} (t)$ を ${(125 \cos^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(125 \cos^{3} (t))}^{2}}} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{125 \cos^{3} (t)} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2

$5 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$5 \cos (t)$ を $125 \cos^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{25 \cos^{2} (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{25}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{25}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ を $\sec^{2} (t)$ に変換します。

$\frac{1}{25} \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 6

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$\frac{1}{25} (\tan (t) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{25} \tan (t) + C$

ステップ 8

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{5})$ で置き換えます。

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{x}{5})) + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$

微分積分 例

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