微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

$e^{x^{3}}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int x^{2} {(e^{x^{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.2

${(e^{x^{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int x^{2} e^{x^{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.2.2

$- 1$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\int x^{2} e^{- 1 \cdot x^{3}} d x$

ステップ 1.2.3

$- 1 x^{3}$ を $- x^{3}$ に書き換えます。

$\int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ とします。次に $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$e^{- x^{3}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{3}$ で置き換えます。

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

ステップ 2.1.4.2

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

ステップ 3

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

ステップ 5

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- x^{3}}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例