微分積分例

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

ステップ 2.2

$3$ を $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \arctan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{2} = \arctan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\arctan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

ステップ 4.1.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 5

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 6.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 7

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\arctan (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

ステップ 7.2

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例