微分積分例

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ とします。次に $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{3 \sec (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $3 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.6

$9 \tan^{2} (t)$ を ${(3 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{3 \sec (t)}{2}$ で割ります。

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{2}{3 \sec (t)}$ と $3$ をまとめます。

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.5

$\frac{6}{3 \sec (t)}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.6

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$3$ を $6 \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.6.2.1

$3$ を $3 \sec (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.7

$\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ に $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ をかけます。

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.8

$3$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.9

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.10

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.13

$2$ を $\sec (t)$ の左に移動させます。

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.14

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.14.1

$2$ を $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.14.2.1

$2$ を $2 \sec (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

ステップ 2.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.14.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

ステップ 2.2.15

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.15.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

ステップ 2.2.15.2

$3 \tan^{2} (t)$ を $1$ で割ります。

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

ステップ 3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 7

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$3 (- t + \tan (t)) + C$

ステップ 9

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{2 x}{3})$ で置き換えます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{2 x}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ は $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ です。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

ステップ 10.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

ステップ 10.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{2 x}{3}$ であり、 $b = 1$ です。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

ステップ 10.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

ステップ 10.1.5

公分母の分子をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

ステップ 10.1.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

ステップ 10.1.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

ステップ 10.1.8

公分母の分子をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

ステップ 10.1.9

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

ステップ 10.1.10

$\frac{2 x + 3}{3}$ に $\frac{2 x - 3}{3}$ をかけます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

ステップ 10.1.11

$3$ に $3$ をかけます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

ステップ 10.1.12

$\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ に書き換えます。

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ステップ 10.1.12.1

$(2 x + 3) (2 x - 3)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

ステップ 10.1.12.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

ステップ 10.1.12.3

分数 $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

ステップ 10.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

ステップ 10.1.14

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

ステップ 10.2

$- arcsec (\frac{2 x}{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

ステップ 10.3

$- arcsec (\frac{2 x}{3})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

ステップ 10.4

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

ステップ 10.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

ステップ 10.5.2

式を書き換えます。

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

ステップ 10.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

微分積分 例

微分積分例