微分積分例

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} - 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.2

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

ステップ 1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 2

$u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ とします。次に $d u = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{\frac{1}{3}} - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 3]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{\frac{1}{3}} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

ステップ 2.1.5

簡約します。

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ステップ 2.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 2.1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.5.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 2.1.5.2.2

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 3 u d u$

ステップ 3

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int u d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ を $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

ステップ 5.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}} - 3$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + C$

微分積分 例

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