微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ とします。次に $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{2 \sec (t)}{3}$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $2 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.5

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ を ${(2 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{2 \tan (t)}$ に $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ をかけます。

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

ステップ 2.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$2$ を $2 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$2$ を $6 \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.4

$\tan (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

ステップ 6

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{3 x}{2})$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$

微分積分 例

微分積分例