微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 16 x^{2}}} d x$

ステップ 1.2

$16 x^{2}$ を ${(4 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

ステップ 2

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (u)$ である

$\frac{1}{4} (\arcsin (u) + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\frac{1}{4} \arcsin (u) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \arcsin (4 x) + C$

微分積分 例