微分積分例

$\int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 1.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{(x - 2) (x - 1)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 2}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 2) (x - 1)$ です。

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.5

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.5.2

$(B) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - A + (B) (x - 2)$

ステップ 1.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

ステップ 1.1.7.7

$- 2$ を $B$ の左に移動させます。

$1 = A x - A + B x - 2 B$

ステップ 1.1.8

$- A$ を移動させます。

$1 = A x + B x - A - 2 B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A - 2 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$1 = - 1 A - 2 B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$- 1 (- B) - 2 B$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$B$ から $2 B$ を引きます。

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

ステップ 1.3.3

$1 = - B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $- B = 1$ として書き換えます。

$- B = 1$

$A = - B$

ステップ 1.3.3.2

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 1.3.3.2.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = - 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 1}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x - 2$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 6

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 9

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| u_{2} |}) + C$

ステップ 10.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$

微分積分 例

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